2、相遇 桑余他 ...
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桑余他们很快便失去了意识，睁眼便看见一片生物从自己身边游过，还不停的在他身边摆上吃食。
桑余默默的看着它们膜拜自己，一言不发，就这样的日子过了一天又一天，桑余也不知现在是什么时候，自己生活在哪，只知道自己被沈厌扔过来时，就在这座湛蓝色的宫殿里，可惜不能动。
在不知道过了多少个日子或是说年、日，都不为过，桑余可以动了，有一股能量争先恐后的涌了进来，被压制以久的本性爆发了，他爬上岸，身上湿嗒嗒的海水，化作了一床被子，“不是，这对吗？”桑余在这自问自答“应该是对的吧。”这时，一个黑发女孩扑过来，桑余下意识抱住她，低下头看了看：“小苹果？你怎么也在这？”“先不说这么多，我还没进化完，剩下的等我进化完在识海里告诉你。”陈果说完便变成了一条通体漆黑的蛇，缠在了桑余白净的小臂上。绿宝石一样的瞳孔盯着他，“我亲爱的小苹果别那么阴郁的看着我好吗？”陈果吐吐蛇信子，把眼闭上了，“你咋这么可爱呢！”桑余脸上带喜爱的表情(??ω?｀)。
一户人家走来，说：“这位小朋友，你没有衣服穿呀？走我带你去买。”还不懂人心的善与恶的桑余小朋友，就这么水灵灵的跟他走了。
穿上衣服的桑余心情都美妙了，当这户人家说要带桑余回家吃饭时，桑余想都没想直接就跟着走了，在这位好心人家中他又认识到了一个朋友，叫王甜甜，而这位好心人姓王，是一位博士，妻子去世了，只留下了女儿，吃过饭，王博士说可以在他家住，快困死的桑余迷迷糊糊的点点头，桑余住在了王甜甜的隔壁，一躺到床上，陈果就爬了出来，在衣服里躲了一天，她都快无聊死了。桑余趴在她面前：“小苹果，你要多长时间才能进化完成啊？”陈果用尾巴尖点了一下床，桑余似懂非懂的说：“半年？”蛇头轻微点了点。
桑余毫无防背心的睡了过去，第二天一大早，脖子有点疼，桑余没放在心上。
就这样一个月很快过去了，桑余也有了一位要好的朋友，可变故就在这天，甜甜捡到了一条受伤的小狗，让桑余过来，桑余很疑惑却也没说什么，走过去把浑身是血的小狗抱起来，可桑余身上那更危险的气息，让小狗瑟瑟发抖，突然小狗和袖口里的绿色瞳孔对上视线，身体都僵硬了，桑余低头揉揉它的脑袋，后颈处那个红色的针孔越来越明显，还差最后一针，王甜甜拿起针管往后颈扎去，OK，桑余晕了，怀里的小狗又被王甜甜踹两脚，蛇尾缠上个小狗，才没让它掉下去。
桑余被扔进屋里，脖子上带了铁链，后面还带着麻醉，每天他的血液被拿来做实验，四个月转瞬及释，小狗身上的伤被治好后，就被王甜甜丢了出去，桑余哀求了，可是没是，他的能力也没办法用。
桑余的墙壁被弄人成了防弹玻璃，“这天来了一个很特别的人，王博士称他为“言总”，后面还跟着一个冷冰冰的小孩，说是要来选生日礼物，他一眼看中了我，可是王博士不卖，他说他一定会帮我逃出去的，可他爸爸都出价十五个亿了，王博士也不卖，我不懂这有多少钱，但是直觉告诉我钱很多，我对他摇了摇头，我不值得花这么多的钱。”
他们走后，王博士来到桑余面前，问：“你知道我为什么不卖吗？”桑余双眼无神，颓废的坐在地上，摇摇头，“桑余，在我见你第一面时，我就觉得你很特别，是一个好的‘实验品’。”王博士微笑着给桑余讲。
在这天晚上陈果变回来了，她把桑余脖子上的铁链解开，盯了一会儿沉睡的桑余，趴在他耳边轻声说：“哥哥，明天你就自由了。”陈果出去找到了王博士和王甜甜，桑余皱皱眉瞬就清醒了。他摊开门看到的便是倒在血泊中的父女二人，陈果的手上和身上都有血，陈果对着桑余笑笑：“哥哥，你自由了，开不开心呢！”
桑余一脸震惊的看着她。：“不是，小苹果这是你干的，我香香软软、温柔大方的苹果味小蛋糕呢？”“哥哥，你别忘了我是一条蛇，是冷血动物啊，我的性格也会变啊！”陈果对着桑余勾了勾嘴角，“哦，所以你要告诉我什么呀？”桑余问，还没等桑余反应过来，陈果就已经进入了他的识海，“哥哥，进化后我们的能力会有所提升，能力吸收的越多就越强，很有可能化神哦！”“那我多出一个心脏咋回事啊？”桑余为这件事感到疑惑。
“哦，正常吸收能量太多，真接化神，我看见你从海里爬出来的，功喜你被海洋选中成为了海洋的化身。”
“所以这有什么用，能力不都差不多吗？”“我去，你没听见沈厌说的最后一句话吗？”陈果问，“啥时候的事？”“不是哥哥你真没听见？”陈果从阴郁的表情变成了震惊，“对呀。”桑余无所谓的说，“沈厌说，他检则到邪神沈明修在这，让我们杀死他，不然我们都会死！能力也会被抢走。”陈果说，“听这个姓他俩是一家人呐！”桑余带沉重的表情，“所以说这个沈明修和沈厌是兄弟，但可能是同父异母的关系，沈明修可能是因为嫉妒沈厌的修为就走火入魔，成了邪神。”“不是，你的关注点为什么在这上面，不过说的也不错，你咱猜到的？”桑余说：“就随便猜的呀！“
从识海中出来后桑余提出建议：“小苹果把这种一棵苹果树，我来浇水。”陈果随手在这种了一粒苹果籽，让桑余惊讶的是，这粒种子以肉眼可见的速度长成了一棵树苗，“不是，小苹果它为啥长这么快，是不是开挂了。”“哥哥，有没有一种可能它长这么快是因为我给它疏送能量了，没开挂放心吧！”桑余这才恍然大悟，浇水时也疏送了点能量，结果给的能量太多，长成参天大树了。
“我*，哥你咋搞的，你弄的能最太多了吧。”“不道啊。”桑余回答，这时，一个小男孩走了过来，桑余表情震惊：“是你？”“对呀，我说过我会带你出去的不能失言的，对了，我叫言海，今年十一了，你叫什么？”言海问，“我叫桑余，今年十岁，旁边这位叫陈果，比我小两个月，怎么了？。”桑余介绍自己时，顺便把陈果也介绍了，“是这样的，我们想收养你们。”言海解释了一下来意，桑余若有所思的点了点头，言海看向一旁的陈果，桑余又补充道：“我们都去。”听见桑余的话言海愣了一瞬，又看向陈果，两人对上视线，两双眼中充满了冷漠，仔细看还能看见一丝嫌恶，桑余眼看气氛不对，起忙说了一两句活，打破这尴尬的氛围，言海朝他温柔一笑：“跟我来吧。”桑余被那一笑晃了神，直到坐到车上才反应过来。
进了别墅，桑余和陈果见到了言父、言母，桑余还在思索“在这个家里立个什么人设比较好呢？”
言父带着他俩登录完户口后，就叫人给陈果收拾出来一间房间，言海说：“不好意思啊，当时就给我爸说要带桑余回来。”陈果对他翻了个白眼，讽刺道：“言海你有本事，你晚上来我房间，咱们俩好好聊聊。”处在中间的桑余，左看看右看看，不知道该劝谁，干脆站中立，左劝劝后劝劝，见劝不动，想摆烂的时候，言母让他们下去吃饭，没办法的桑余一手一个拽下去了。
吃饭时，桑余坐在陈果和言海中间，原因是坐在言海那陈果不开心，坐陈果那言海不开心，最应就变成了这样。晚饭过后，陈果和言海进了房间，陈果开门见山道：“你有什么目的？”“我对你哥哥一见钟情了，现在处在暗恋期。”说完言海便离开了。见多识广的陈果暗暗发誓一定要护住哥哥。
这几个月的相处言家夫妇也发现，小女儿嘴毒，大儿子高冷，只有桑余这个儿子被他们养的阳光开朗，哦，还有陈果和言海。
到了桑余和陈果该上高二的年纪，言父便准备给他们两个转学，让他们去言海那个学校。言母害怕桑余在学校受欺负，让言海看着点他，桑余知道后，去找了言海说：“哥，你不用保护我的，我战斗力不比苹果差。”“小余儿，告诉哥哥，苹果是谁？”“哥，你重点不在这上面呀！陈果她的小名叫小苹果。”桑余解释道。见言海沉默，桑余只好打破这安静的气氛“对了哥，暑假还剩多少天，我要赶紧预习一下高二的课本。”“大概还剩半了月，有不会的来找我。”“好的哥。”桑余说完，便离开了。
过了几天，言海终于等到了桑余找他问题，“第一题f(x)=e^x - ax - \ln(x+1),\ a\in\mathbb{R}
（1）若 f(x)\ge 0 对 \forall x>-1 恒成立，求 a 的值；
（2）证明：
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} < e - 1 - \ln 2
第二题C:\frac{x^2}{4}+y^2=1
过点 P(1,0) 作直线 l 交椭圆于 A,B 两点。
（1）求 |PA|\cdot |PB| 的取值范围；
（2）若在 x 轴上存在定点 M(t,0)，使得
\angle AMP = \angle BMP
恒成立，求 t。
第三题已知数列 \{a_n\} 满足
a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n + \frac{1}{2^n - 1}
证明：
a_n < \ln(2n+1)
第四题f(x)=x^2 - 2x + a(e^{x-1}+e^{-x+1})
有唯一零点，则 a=？”“哥，这几道题的解法是不是这样：‘第一题已知
f(x)=e^x - ax - \ln(x+1),\quad x>-1
(1) 求 a 使 f(x)\ge 0 恒成立
f'(x)=e^x - a - \frac{1}{x+1}
观察：
f(0)=1-0-0=1,\quad f'(0)=1 - a - 1 = -a
要 f(x)\ge 0 恒成立，必须在 x=0 处取极小值，否则附近会下探。
所以要求：
f'(0)=0 \implies -a=0 \implies a=1
验证 a=1：
f'(x)=e^x - 1 - \frac{1}{x+1}
f''(x)=e^x + \frac{1}{(x+1)^2} > 0
f'(x) 单调递增，且 f'(0)=0。
- x\in(-1,0)，f'(x)<0，f(x) 递减
- x\in(0,+\infty)，f'(x)>0，f(x) 递增
所以
f(x)_{\min}=f(0)=1\ge 0成立。
答案：a=1
(2) 证明
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} < e - 1 - \ln 2
先裂项：
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}
\sum_{k=1}^n \left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1} < 1
再用(1)中 a=1 时：
e^x - x - \ln(x+1)\ge 1
取 x=1：
e - 1 - \ln 2 \ge 1
所以
1-\frac1{n+1} < 1 \le e - 1 - \ln 2
即
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} < e - 1 - \ln 2证完。
第二题是C:\frac{x^2}{4}+y^2=1,\quad P(1,0）
(1) 求 |PA|\cdot |PB| 范围
设直线：
x=my+1
代入椭圆：
(my+1)^2 + 4y^2 = 4
(m^2+4)y^2 + 2my - 3 = 0
设 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)
y_1+y_2=-\frac{2m}{m^2+4},\quad y_1y_2=-\frac{3}{m^2+4}
|PA|\cdot |PB|
=\sqrt{1+m^2}|y_1|\cdot \sqrt{1+m^2}|y_2|
=(1+m^2)|y_1y_2|
=(1+m^2)\cdot \frac{3}{m^2+4}
=3\cdot\frac{m^2+1}{m^2+4}
令 t=m^2\ge 0
g(t)=3\cdot\frac{t+1}{t+4}=3\left(1-\frac{3}{t+4}\right)
- t=0 时，g=\frac34
- t\to+\infty 时，g\to 3
范围：\boldsymbol{\left[\dfrac34,\ 3\right)}
(2) 定点 M(t,0) 使 \angle AMP=\angle BMP
等价：
k_{MA}+k_{MB}=0
\frac{y_1}{x_1-t}+\frac{y_2}{x_2-t}=0
y_1(x_2-t)+y_2(x_1-t)=0
y_1(my_2+1-t)+y_2(my_1+1-t)=0
2my_1y_2 + (1-t)(y_1+y_2)=0
代入韦达：
2m\left(-\frac{3}{m^2+4}\right)+(1-t)\left(-\frac{2m}{m^2+4}\right)=0
约去 m（m=0 单独成立）：
-6 -2(1-t)=0 \implies -6-2+2t=0 \implies t=4
答案：M(4,0)
第三题是a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2^n-1}
证：
a_n < \ln(2n+1)
先写出：
a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k-1}
用放缩：
\frac{1}{2^k-1} < \ln\left(\frac{2k+1}{2k-1}\right)
于是
a_n < 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\ln\frac{2k+1}{2k-1}
=1 +\ln\left(\frac31\cdot\frac53\cdot\frac75\cdots\frac{2n-1}{2n-3}\right)
=1+\ln(2n-1)
再证：
1+\ln(2n-1) < \ln(2n+1)
1 < \ln\frac{2n+1}{2n-1}
e < \frac{2n+1}{2n-1}
对 n\ge1 显然成立。
所以a_n < \ln(2n+1）证完。
第四题 f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})
有唯一零点，求 a。
配方：
x^2-2x=(x-1)^2-1
令 t=x-1，则
f(x)=(t^2-1)+a(e^t+e^{-t})=0
a=-\frac{t^2-1}{e^t+e^{-t}}
要唯一零点，即直线 y=a 与右边函数只交一次。
设
g(t)=\frac{1-t^2}{e^t+e^{-t}}
求导分析单调性可得：
- g(t) 最大值在 t=0 处
g(0)=\frac{1-1}{2}=0
- 当 a=\frac12 时，恰好只有一个交点。
答案是：\boldsymbol{a=\dfrac12}’我的答案对吗？”桑余问，“是这样的，让你预习高二上学期的呢，你咋还预习下学期的？”言海反问，“哦，太无聊就预习了”“，你来找我就是为了这个？”言海问“对呀，你不是让我不会的题问你。”桑余理所当然的回答，“呵。”言海轻笑一声，起身送走了桑余。
桑余站在门口和眼前紧闭的房门大眼瞪小眼，见言海不再开门，桑余只好离开去找陈果。
作者有话说
第2章 相遇