19、竞赛集训 ...
-
四月最后一个周六，省赛模拟考前的最后一次全天集训。
清晨七点五十分，竞赛教室已经坐满了人。空气里弥漫着咖啡和熬夜的味道——为了这次模拟考，一班参加竞赛培训的十五个学生几乎都通宵复习了。江敘的目光扫过教室：林小雨在闭目养神，眼下有浓重的阴影；张哲在快速翻看笔记，嘴唇无声地动着；还有几个新面孔，是从其他班级选拔进来的。
陆燃坐在他旁边，罕见地没有摆弄那些电子元件，而是安静地看着窗外。晨光透过玻璃，在他侧脸上投下柔和的光影。他手里拿着那个混沌时钟，屏幕上的洛伦兹吸引子缓慢旋转，像某种永不停息的思想。
“紧张？”江敘问。
“不。”陆燃转头，眼睛里有一种平静的锐利，“期待。”
期待。这个词很准确。江敘想。经过一个月的密集训练，他们确实在期待——期待检验成果，期待证明自己，也期待在更高的平台上与更强的对手交锋。
八点整，周老师走进教室，身后跟着两位外聘教练——一位是大学数学系的教授，专长代数几何；另一位是奥赛金牌教练，擅长组合与数论。
“今天是我们最后一次全天集训。”周老师开门见山，“下周就是模拟考，五月中旬正式省赛。时间不多，所以今天的强度会很大。”
他在黑板上写下日程：
8:10-10:00 代数专题
10:10-12:00 几何专题
13:30-15:20 数论专题
15:30-17:20 组合专题
17:30-18:30 模拟题讲解
“每个专题两小时，中间休息十分钟。午休一个半小时。”周老师放下粉笔，“有问题吗？”
教室里一片沉默。这个强度，比集训营还大。
“没有的话，我们现在开始。”周老师看向两位外聘教练，“李教授，从您开始。”
李教授走上讲台，五十多岁，头发花白，但眼睛很亮。他没有寒暄，直接在白板上写下一个问题：
“设f(x)是复系数多项式，满足f(f(x)) = x^2 + 1。求所有这样的f(x)。”
全场倒吸一口冷气。这是函数方程与多项式结合的问题，难度远超高中范围。
“给你们五分钟思考。”李教授说，语气平静。
江敘的大脑飞速运转。f(f(x)) = x^2 + 1……这意味着f是一个“半迭代”函数，作用两次得到x^2+1。他尝试从次数入手：设deg(f)=n，那么deg(f(f(x)))=n^2=2，所以n=√2？不，次数必须是整数……
“时间到。”李教授说，“有人有思路吗？”
陆燃举手。江敘惊讶地看向他——这个题，江敘自己还没有完整思路。
“说。”
“首先，f不能是线性函数，否则f(f(x))还是线性的。”陆燃站起来，“其次，考虑不动点。设f(c)=c，那么c满足c=f(f(c))=c^2+1，所以c是方程c=c^2+1的根，但这个方程无实根，说明f没有实不动点。”
李教授点头：“很好。继续。”
“所以f可能没有不动点，或者不动点是复数。”陆燃继续说，“然后可以考虑迭代。设f(x)=ax^2+bx+c，代入计算……”
“太具体了。”李教授打断，“先从一般性质分析。”
陆燃顿了顿，然后眼睛一亮：“f必须是单射！因为如果f(a)=f(b)，那么f(f(a))=f(f(b))，所以a^2+1=b^2+1，得到a=±b。但如果a=-b且a≠0，那么……”
他停住了，显然卡在了某个地方。
江敘突然接上：“那么考虑f(0)。设f(0)=d，那么f(d)=f(f(0))=0^2+1=1。然后f(1)=f(f(d))=d^2+1。我们可以建立一个值之间的递推关系。”
两人一唱一合，居然拼凑出了思路的框架。其他学生听得目瞪口呆——这种难度的题，他们连题目都还没完全理解，江敘和陆燃已经在讨论解法了。
李教授看着他们，眼里有赞赏：“不错的合作。但还不够完整。谁还有补充？”
林小雨举手了，声音很小但清晰：“可以考虑多项式的复合在半群上的性质……如果引入形式幂级数……”
“停。”李教授笑了，“这是高中竞赛，不是研究生讨论班。我们回到高中生能理解的方法。”
他在白板上写下完整的解法：通过分析次数、构造辅助函数、利用复变函数的基本性质。每一步都清晰严谨，但确实涉及了超出高中范围的知识。
“重点是思路，”李教授总结，“遇到陌生的问题，不要慌。从最基本的性质分析——次数、值域、特殊点。很多看似复杂的问题，拆解后都是简单的模块。”
江敘快速记笔记。这个思路很有启发性——不仅是解这道题，而是一种通用的解题哲学。
两小时的代数专题在高速中度过。李教授讲了五个例题，每个都很难，但每个都揭示了某种重要的思想方法。下课铃响时，所有人都觉得大脑过载了。
休息十分钟，没人离开教室。大家要么趴在桌上小憩，要么抓紧时间整理笔记。
陆燃靠在椅背上，闭着眼睛：“这个教授讲得很好。”
“嗯。”江敘翻看着自己的笔记，“他教的不是具体的题，是思维框架。”
“就像教人钓鱼，而不是给鱼。”陆燃睁开眼睛，“我们需要这样的训练。”
十分钟后，几何专题开始。奥赛金牌教练姓王，四十多岁，瘦削精干。他没有写复杂的定理，而是在黑板上画了一个简单的图：一个圆，圆内一个三角形，还有一些复杂的辅助线。
“这道题，”王教练说，“是去年全国赛的压轴题。全场只有三个人做出来。”
他停顿，看着学生们的反应：“但我不打算讲这道题。我要讲的是——为什么那三个人能做出来。”
他擦掉图，重新画了一个更简单的图：一个圆，一条弦。
“所有几何问题，本质上都是关于关系和不变量的。”王教练的声音很有磁性，“你要寻找的是什么在变化，什么不变。在这个简单的图里——”他指着那条弦，“当弦的一端在圆上移动时，什么不变？”
“弦的中垂线通过圆心。”江敘轻声说。
王教练听到了，点头：“对。这是不变性。现在，回到刚才那个复杂的图。”
他重新画出第一个图：“在这个图里，当某个点移动时，有哪些量不变？哪些关系保持？找到它们，问题就解决了一半。”
接下来的两小时，王教练用六个例题展示了如何寻找几何问题中的不变量和不变关系。他的讲解像剥洋葱，一层一层，直到露出核心。
江敘感到自己的几何思维被打开了新的维度。他之前做题，更多是依赖定理和公式，但现在他明白了——更重要的是看到图形背后的结构，看到那些隐藏在变化中的不变性。
陆燃显然也受到了启发。他在草稿纸上画着图，不是解题，而是探索不同图形中的不变关系。
“有意思，”他低声对江敘说，“就像混沌系统中的吸引子——无论初始条件如何，系统最终都会趋向那个结构。”
“几何中的不变量就是吸引子。”江敘接道。
两人对视一眼，都看到了对方眼中的兴奋。这种将不同领域思想融会贯通的感觉，太美妙了。
午休时，两人没有去食堂，而是留在教室吃早上带来的三明治。其他学生大多也是如此——时间宝贵，不愿浪费在来回的路上。
“下午的数论，”陆燃看着日程表，“是你的强项。”
“也是你的。”江敘说，“上次那个莫比乌斯反演的问题，你的解法很漂亮。”
“等价交换。”陆燃笑了，“下午继续合作？”
“当然。”
他们安静地吃着三明治，偶尔交换一个关于刚才课程的想法。阳光从窗外照进来，在课桌上投下明亮的光斑。教室里只有他们两个人，其他学生要么趴在桌上休息，要么去了活动室。
这一刻的安静，让江敘想起集训营的时光。同样的高强度，同样的专注，同样的……和陆燃并肩作战的感觉。
“如果省赛我们进了省队，”陆燃突然说，“暑假要去参加全国集训营。”
“嗯。”
“又要住在一起了。”
江敘的心跳快了一拍。他看向陆燃，陆燃正看着窗外，侧脸在阳光下显得很柔和。
“像集训营那样？”江敘问。
“可能更久。”陆燃转头看他，“全国赛在八月，集训可能要两个月。”
两个月。六十天。每天二十四小时在一起。
这个认知让江敘感到一种复杂的情绪——紧张，期待，还有一丝说不清的东西。
“你会不习惯吗？”陆燃问，“和我住一个房间那么久。”
江敘思考了一会儿。集训营的十五天，他不仅习惯了，甚至……开始依赖那种日常的共处。每天一起起床，一起学习，一起讨论，一起在深夜交换想法。
“不会。”他最终说，“已经习惯了。”
陆燃笑了，那笑容里有种深沉的温暖：“我也是。”
下午的数论专题果然很难。周老师亲自讲授，内容涉及高次同余、原根、二次互反律的高维推广。许多概念是江敘和陆燃自学的，但周老师讲得更系统，更深入。
“数论的美在于它的纯粹。”周老师站在讲台前，眼睛里有一种数学家特有的光芒，“没有复杂的图形，没有繁琐的计算，只有数字和数字之间的关系。但正是这种纯粹，让它成为数学中最深刻的领域之一。”
他写下一个定理的证明，步骤简洁如诗。江敘看着那些推导，突然理解了周老师说的“纯粹”——就像一首十四行诗，在严格的格律中表达最深刻的情感。
陆燃显然也被这种美打动了。他记笔记的速度比平时慢，不是跟不上，而是在品味，在思考每一步背后的思想。
数论课后是组合专题。这是陆燃的最爱，也是江敘相对薄弱的部分。王教练重新上台，这次他讲的是极值组合和图论中的概率方法。
“组合数学是最需要创造力的领域。”王教练说，“因为很多时候，没有现成的定理可用。你需要自己构造，自己发明方法。”
他举了一个例子：证明在任意10个人中，要么有4个人两两相识，要么有3个人两两不相识。这不是拉姆西定理，而是一个更精细的问题。
“给你们十分钟思考。”王教练说。
江敘尝试用图论方法，但卡在了构造反例上。陆燃则用了不同的思路——他考虑补图，把问题转化为：在10个顶点的图中，要么有4个顶点两两相连，要么有7个顶点两两不相连？
不对，思路乱了。
“时间到。”王教练说，“有人做出来了吗？”
没人举手。这道题确实很难。
王教练开始讲解。他用了非常巧妙的构造：把10个人分成两组，每组5人，然后在组内和组间设计相识关系。构造本身不复杂，但想法很精妙。
“这就是组合数学的特点，”王教练总结，“答案往往很简单，但想到答案的过程需要洞察力。”
陆燃快速记下这个构造方法，然后在旁边写了一行小字：“对称性+极端情况分析”。江湊看到了，突然明白了这个构造的核心思想——利用对称性简化问题，然后考虑极端情况。
果然，组合数学需要的是不同的思维方式。
五点半，所有专题结束。学生们已经精疲力尽，但还有最后一项——模拟题讲解。
周老师发下一套题：“这是去年省赛的真题。你们做一遍，然后我们讲解。”
教室里响起翻页声。江敘快速浏览：六道题，代数、几何、数论、组合各一道，外加两道综合题。难度确实很大，但他感到一种奇异的兴奋——经过今天的训练，他觉得自己有能力挑战这些题。
他和陆燃对视一眼，同时开始答题。
第一题代数，关于多项式根的分布。江敘用了今天上午学到的函数方程思想，很快找到了突破口。
第二题几何，需要添加三条辅助线才能看出全等关系。江敘尝试了王教练教的“寻找不变量”方法，果然发现了隐藏的对称性。
第三题数论，涉及高次同余和原根。这是江敘的强项，他流畅地写下了证明。
第四题组合，极值问题。江敘卡住了。他尝试了几种方法，都找不到合适的构造。
余光看到陆燃已经做到了最后一题。江敘深吸一口气，重新读题。突然，他想到了陆燃在草稿纸上写的那行字：“对称性+极端情况分析”。
他尝试从这个角度思考。如果要求最大值，那么极端情况是什么？如果所有元素都取极端值……
思路打开了。江敘迅速写下构造，然后证明它是最优的。
第五题和第六题是综合题，难度极大。江敘只做出了部分，陆燃也差不多。但对他们来说，能做出一半已经很好了。
七点整，周老师开始讲解。他不仅讲答案，更讲思路的来源，讲如何从题目中提取关键信息，如何选择合适的方法。
“竞赛不是比谁知道得多，”周老师说，“而是比谁能在有限时间内，用已知的知识解决未知的问题。这需要的是思维品质，而不仅仅是知识储备。”
江敘认真地听着。这些话，他以前也听过，但今天有了更深的理解。经过一整天的强化训练，他感觉自己的思维被重塑了——更灵活，更深刻，更善于看到问题的本质。
讲解结束时，已经是晚上八点。十二小时的集训，终于结束。
学生们陆续离开，每个人都带着满脑子的知识和满身的疲惫。江敘和陆燃最后离开教室。
夜空清澈，星星稀疏地闪烁着。春夜的风很温柔，吹散了白天的燥热。
“感觉怎么样？”陆燃问。
“累。”江敘诚实地说，“但很充实。”
“我也是。”陆燃伸了个懒腰，“像大脑做了一次深度按摩。”
这个比喻让江敘笑了。确实，高强度思考后，大脑有种酸痛但舒畅的感觉。
他们慢慢走回宿舍区。路灯把影子拉得很长，在路面上交错。
“下周模拟考，”陆燃说，“有信心吗？”
“有。”江敘说，“但更期待省赛。”
“我也是。”陆燃停下脚步，看着夜空，“想看看在全省的平台上，我们能排到什么位置。”
“想进省队吗？”
“想。”陆燃转头看他，“和你一起进。”
这句话说得很自然，但江敘听出了其中的重量。一起进省队，意味着要继续并肩作战，要一起参加全国赛，要一起走更远的路。
“好。”江敘说，“一起进。”
他们继续走。快到宿舍楼时，陆燃突然说：“对了，上次实验课的赌约——如果模拟考我们进前五，你陪我去个地方。”
“我记得。”
“地方我选好了。”
“哪里？”
陆燃笑了，笑容在路灯下显得很神秘：“到时候告诉你。反正……是一个对我们都很重要的地方。”
江敘看着他，没有追问。他相信陆燃，相信这个赌约，就像相信他们之间的所有约定。
“那我们要考进前五。”江敘说。
“当然。”陆燃伸出手，“击掌为誓？”
江敘抬手，与陆燃击掌。手掌相触的瞬间，发出清脆的声响，在春夜中格外清晰。
“晚安，江敘。”
“晚安，陆燃。”
他们各自走向宿舍楼。江敘回头时，看到陆燃也正好回头。两人相视一笑，然后转身。
回到宿舍，江敘没有立刻洗漱。他坐在书桌前，打开笔记本，在今天的日期下写道：
“最后一次全天集训。强度极大，但收获极大。”
“代数学了解题哲学，几何学了寻找不变量，数论感受了纯粹之美，组合领悟了构造之妙。”
“更重要的是——和陆燃的合作越来越默契。一个眼神，一个动作，就能理解彼此的思路。”
“下周模拟考，目标前五。不是为了赌约，而是为了证明——我们有能力站在更高的地方。”
“省赛在即，前路漫漫。但有他在旁边，一切皆有可能。”
写完，他合上笔记本，看向窗外。夜空中的星星似乎比刚才更亮了。
竞赛之路很艰苦，但也很美好。
因为在这条路上，他遇到了一个值得尊敬的对手，一个可靠的伙伴，一个……越来越重要的人。
而他们的故事，还在继续。
春夜深深。但少年们的心，炽热如初。
作者有话说
第19章 竞赛集训