25、数学对决 ...
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物理竞赛初赛后的周一，数学竞赛的压力骤然升级。
五月的最后一个星期，距离省赛只剩十天。竞赛教室里的空气紧绷得能拧出水来，十五个学生各自埋头做题，只有笔尖划过纸张的沙沙声，偶尔有谁轻轻叹气，或翻页时纸张的哗啦声。
江敘正在解一道组合极值问题。题目要求证明：在任意n个实数中，总可以选出若干个，使得它们的和与这些数的平均值之差的绝对值不超过某个界。他尝试用概率方法和熵的技巧，但卡在了构造合适的随机变量上。
按照以前的习惯，他会直接转头问陆燃：“这个熵的用法对吗？”或者陆燃会主动凑过来看他的思路。但现在，他们中间隔着林小雨——既是物理上的隔阂，也是心理上的屏障。
江敘抬起头，看向斜后方的陆燃。陆燃正皱着眉头，用笔在草稿纸上快速画着某种图——不是几何图形，更像是某种网络或树状结构。江敘认出那是图论中树的表示方法，看来陆燃也在解图论相关的题目。
他们的目光在空中短暂相遇。陆燃微微挑眉，似乎在问：“有问题？”江敘轻轻摇头，重新低下头。
不能问，不能交流，不能像以前那样自然地讨论。这是“刻意疏离”的规则，是为了“避免不必要的议论”，是为了“注意影响”。
多么讽刺——在数学这个最需要思想交流的领域，他们却被禁止自由讨论。
周老师走进教室时，所有人都抬起头。他手里拿着一叠试卷，表情比平时更加严肃。
“这是去年省赛的真题，”周老师说，“现在进行模拟测试。时间三小时，现在开始。”
试卷发下来。江敘快速浏览：六道题，代数、几何、数论、组合各一道，两道综合题。难度确实比平时的训练题高一个层次。
第一题是关于多项式根的分布。江敘用了辐角原理，但计算很复杂。他花了四十分钟，才得到完整的证明。
第二题几何，需要添加四条辅助线才能看出相似关系。江敘试了三种添加方式，终于找到了正确的组合。
第三题数论，涉及高次同余和原根。这是江敘的强项，他流畅地写下了证明。
做到第四题组合时，时间已经过去两小时。这道题是关于拉姆齐数的下界估计，需要构造一个反例。江敘尝试了随机染色，但不够紧。他想起陆燃上次提到的熵方法，但不确定是否适用。
他再次抬头看向陆燃。陆燃已经做到了最后一题，正在快速书写。按照进度，陆燃应该也卡在了第四题或第五题——因为组合是陆燃的强项，他不会在那道题上花太多时间，而最后一题往往最难。
那么，陆燃会用什么方法解第四题呢？江敘猜测。可能是用概率方法结合二阶矩，也可能是用某种巧妙的确定性构造。
他想问，但不能问。
江敘深吸一口气，重新审视题目。拉姆齐数R(3,3)=6，R(4,4)=18，现在要求估计R(5,5)的下界。已知上界大约是50左右，但下界……需要构造一个49个点的图，使其既不包含5个点的团，也不包含5个点的独立集。
他尝试用循环图构造：将49个点放在一个圆上，每个点连接与之距离为某些固定值的点。但这种对称构造往往会产生意外的团或独立集。
时间一分一秒过去。江敘的额头渗出细密的汗珠。他瞥了一眼时钟——还剩四十分钟，还有两道大题。
他做了一个决定：跳过第四题，先做第五题和第六题。
第五题是代数与数论的综合，关于分圆域的单位群。江敘用了狄利克雷单位定理，虽然证明不完整，但写出了主要思路。
第六题是真正的难题：关于丢番图逼近与动力系统的结合。江敘只做出了第一部分，第二部分完全没思路。
当结束铃声响起时，江敘放下了笔。他的第四题只写了一半的构造，第五题和第六题都不完整。
“停笔。”周老师说。
教室里响起一片叹息声。显然，所有人都被这套题难住了。
“休息十分钟，然后讲评。”周老师说。
学生们陆续走出教室，到走廊里透气。江敘靠在窗边，看着外面五月的阳光。梧桐树的叶子在风中摇曳，投下晃动的光影。
陆燃也出来了，站在离他两米远的地方。这是“适当距离”——足够近，可以低声交谈；足够远，不会引起注意。
“第四题，”陆燃突然开口，声音很轻，“你用了什么方法？”
“循环图构造，”江敘同样低声回答，“但失败了。你呢？”
“我用了随机图加上局部调整。”陆燃说，“先随机染色，然后如果某个局部出现了4个点的单色团，就调整边的颜色破坏它。但时间不够，没调完。”
“第五题呢？”
“单位定理，但第二部分没做出来。”
“第六题？”
“完全没思路。”
简单的对话，快速的信息交换。在这十分钟的休息时间里，他们像两个间谍在交换情报，隐秘，高效，克制。
这是他们现在唯一的交流方式——在规则的夹缝中，在目光的盲区里，用最简短的语言，传递最必要的信息。
十分钟后，讲评开始。
周老师一道题一道题地讲解。第一题，他给出了三种解法，其中一种是江敘没想到的——用洛朗展开和留数定理。第二题，他展示了五种不同的辅助线添加方式，江敘的方法在其中。
第三题，周老师表扬了江敘的证明：“很完整，很严谨。”
第四题，周老师说：“这道题全年级只有两个人做出了完整的构造——陆燃和林小雨。”
江敘看向陆燃。陆燃的脸上没有得意，只有平静。林小雨则微微低下头，似乎有些不好意思。
“陆燃用了随机加调整的方法，”周老师把陆燃的解法投影到屏幕上，“虽然繁琐，但有效。林小雨用了代数图论的方法，很巧妙。”
两种解法都很精彩。江敘认真地看着，学习着自己没想到的思路。
第五题，周老师说：“这道题只有江敘和陆燃做对了第一部分。第二部分，全年级没人做出来。”
江敘和陆燃对视了一眼。这是他们今天第一次真正的眼神交流——不是匆匆一瞥，而是有内容的对视：我们做到了同样的部分。
第六题，周老师摇摇头：“这道题超纲了，是研究生级别的。你们做不出来很正常。但我还是要讲一下思路，开阔你们的视野。”
他讲解了动力系统在数论中的应用，讲解了遍历理论与丢番图逼近的深刻联系。江敘虽然听不懂全部，但感受到了数学的浩瀚和美妙。
讲评结束后，周老师公布了成绩。
陆燃：85分，第一。
江敘：82分，第二。
林小雨：78分，第三。
张哲：75分，第四。
……
三分之差。江敘看着那个数字，感到一种复杂的情绪——不是失落，不是嫉妒，而是一种深沉的共鸣。他知道这三分差在哪里：第四题，陆燃做出了完整的构造，他只做了一半。
“距离省赛还有十天，”周老师说，“这十天，你们要做的不是学新知识，而是巩固已有的，查漏补缺。尤其是——”他看向江敘和陆燃，“你们两个，是冲击省一等奖的主力。但你们现在的分数，还不够稳定。”
他顿了顿，语气变得严厉：“我注意到，最近你们之间的交流变少了。我不知道是什么原因，但我想提醒你们：数学是需要思想碰撞的。闭门造车，永远达不到最高水平。”
这句话说得很直接。教室里安静下来，所有人的目光都投向江敘和陆燃。
江敘感到脸在发热。他知道周老师说的是对的，但他们有他们的难处——那些谣言，那些目光，那些“注意影响”的建议。
“省赛之后，你们想怎么相处我不管。”周老师继续说，“但这十天，为了竞赛，为了学校，也为了你们自己，我希望你们能恢复正常的学术交流。讨论题目，交换思路，互相启发——这是你们作为竞争对手，也是作为队友，应该做的。”
他看向全班：“其他人也是。竞赛不是单打独斗，是团队作战。即使最后是个人成绩，但平时的交流和讨论，对每个人都有好处。”
这番话，既是对江敘和陆燃说的，也是对整个竞赛班说的。既是在推动他们恢复交流，也是在为他们的交流创造正当理由——为了竞赛，为了团队，为了学校的荣誉。
这个理由足够充分，足够正当，足够堵住那些议论的嘴。
下课后，周老师把江敘和陆燃单独留下。
“我知道你们最近在刻意保持距离，”周老师开门见山，“我也知道为什么。但我要说的是——不要让那些无关的东西，影响真正重要的事情。”
他看着他们：“竞赛是你们现在最重要的事情。十天后的省赛，可能决定你们未来几年的发展路径。在这个关键时刻，任何分心都是不明智的。”
“但是……”陆燃想说什么。
“没有但是。”周老师打断他，“我已经和年级主任谈过了。从今天起，竞赛班的学生为了备战省赛，可以自由讨论，不受平时纪律的限制。这是特批的。”
江敘明白了。周老师在用他的方式，为他们创造空间——以“备战省赛”的名义，暂时解除那些无形的束缚。
“所以，”周老师看着他们，“这十天，忘掉那些乱七八糟的东西，专注于数学。该讨论讨论，该争论争论，该合作合作。明白吗？”
“明白。”两人同时回答。
“好，去吧。”
走出办公室时，已经是傍晚。夕阳把走廊染成温暖的金色。
“去图书馆？”陆燃问，声音里有种久违的轻松。
“嗯。”江敘点头。
他们并肩走向图书馆，中间没有刻意隔开距离——这是周老师特批的，是“为了竞赛”。这个理由，像一把伞，暂时遮住了那些窥探的目光和议论的声音。
在图书馆的老位置坐下后，陆燃从书包里掏出一叠草稿纸：“第四题，我的构造还有些细节没完善，你帮我看看？”
江湊接过。纸上画着一个复杂的图，49个点，用红蓝两色染边。旁边标注着各种调整规则。
“你这个局部调整的算法，”江敘仔细看着，“可能会在某些情况下陷入循环，永远调不完。”
“我也担心这个。”陆燃说，“所以我在想，能不能证明这个算法一定会在有限步内终止？”
他们开始讨论，像以前那样自然，投入。忘记了刻意疏离，忘记了那些谣言，忘记了所有外在的压力，只剩下数学，只剩下问题，只剩下思维的碰撞和融合。
一个小时后，他们找到了算法的终止性证明——用势函数方法，每次调整都让某个势函数严格递减，而势函数有下界，所以算法必然终止。
“完美。”陆燃放下笔，眼睛发亮，“这样构造就是完整的了。”
“嗯。”江敘也感到一种久违的满足——不是独自解出题的满足，而是通过合作，通过思想碰撞，达到更高水平的满足。
这就是周老师说的“思想碰撞”的价值。一个人可能卡在某处，但两个人一起，可能就能突破。
“第五题的第二部分，”江敘说，“我还是没思路。”
“我也没有。”陆燃承认，“但我们可以一起想想。分圆域的单位群……除了狄利克雷单位定理，还有什么工具可以用？”
“类数公式？”江敘说，“但那是关于理想类的，不是单位群。”
“但也许可以建立联系。”陆燃思考着，“单位群和类数在某些方面是相关的……”
他们又开始讨论。图书馆的灯亮了起来，提醒着时间的流逝。但他们浑然不觉，完全沉浸在数学的世界里。
直到管理员来提醒闭馆，他们才意识到已经晚上九点了。
“明天继续？”陆燃一边收拾东西一边问。
“继续。”江敘点头。
走出图书馆时，夜色已深。校园里的路灯都亮了，在夜色中投下温暖的光晕。
“今天……”陆燃突然说，“感觉像回到了以前。”
“嗯。”江敘同意，“但又不一样。”
“哪里不一样？”
“以前我们讨论数学，是自然而然的事。”江敘说，“现在我们知道，这种‘自然而然’，是需要理由的，是需要特批的，是需要‘为了竞赛’这个借口的。”
陆燃沉默了。是的，不一样了。以前他们的交流是自由的，现在他们的交流是被允许的——虽然结果一样，但性质不同。
“但至少，”陆燃最终说，“这十天，我们可以自由讨论。”
“嗯。”江敘点头，“至少十天。”
十天后的省赛，会是什么结果？省赛后，周老师的特批还有效吗？那些议论会消失吗？他们还能继续这样的交流吗？
这些问题，都没有答案。他们只知道，眼前有十天的时间，可以暂时回到以前的状态，可以专注于数学，可以忘记那些烦恼。
这就够了。
走到宿舍楼前时，陆燃突然从书包里掏出一个小东西——一个纸折的正二十面体，每个面上都写着一个数字。
“今天下午折的，”陆燃说，“送给你。”
江敘接过。正二十面体很精巧，每个面都是正三角形，二十个面完美地组合在一起。
“为什么是正二十面体？”他问。
“因为它是柏拉图立体中最多的面数，”陆燃说，“但结构最对称，最稳定。就像……我们这十天的状态——在复杂的限制中，找到对称和稳定。”
这个比喻很美。江敘看着手中的正二十面体，在路灯下，纸面的数字泛着微光。
“谢谢。”他说。
“等价交换。”陆燃笑了，“明天继续讨论第六题？”
“好。”
他们各自走向宿舍楼。江敘回头时，看到陆燃也正好回头。两人相视一笑，然后转身。
回到宿舍，江敘把纸折的正二十面体放在书桌上。它静静地立在那里，每个面都完美，每条棱都笔直，每个顶点都规则。
就像数学本身——在复杂中寻找简洁，在混乱中寻找秩序，在限制中寻找自由。
而这十天，他和陆燃将在数学的世界里，暂时忘记外界的纷扰，专注于这种寻找。
这将是他们高中阶段最后一场纯粹的数学对决——不是为了一较高下，而是为了共同探索，共同突破，共同达到更高的高度。
无论省赛的结果如何，无论十天后会发生什么，至少这十天，他们可以像以前那样，自由地讨论，自由地思考，自由地……做他们自己。
江敘打开台灯，开始整理今天的笔记。在笔记本上，他写下：
“省赛前最后十天，周老师特批恢复交流。
理由：为了竞赛。
形式：数学讨论。
实质：短暂回归真实。
这十天，我们将进行最后一场数学对决——
不是为了胜负，
而是为了证明：
即使在外力的扭曲下，
思想的连接依然牢固，
数学的纯粹依然闪光，
而我们，
依然是能理解彼此的那个人。”
写完，他合上笔记本，看向窗外的夜色。
十天倒计时，开始。
作者有话说
第25章 数学对决