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90、第十一章 工具变量 ...
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当直接测量因果关系被内生性污染——当你想知道X是否导致Y，但X与误差项相关——你需要一个工具变量Z。Z必须满足：与X相关，且只通过X影响Y。在师父的案子里，1999年那两根断裂的肋骨，就是他从二十年前扔给沈默的工具变量。
场次九 临界值（五）
时间：2024年12月3日，夜晚23时47分
地点：沈默的出租屋
沈默没有开灯。
他坐在黑暗中，把工具变量的推导过程写在纸上。
第一阶段：X = π? + π?Z + ν
第二阶段：Y = β? + β?X + ε
β? = Cov(Z,Y)/Cov(Z,X)
他写下数字。
Cov(Z,Y) = E(ZY) - E(Z)E(Y)
Z=2, Y=1 → E(ZY)=2
E(Z)=2, E(Y)=1 → Cov=2-2=0？
他停住。
不对。
Z=2是观测值，不是均值。
E(Z)是Z的期望——如果1999年袭击的严重程度是一个随机变量，它的期望是多少？
他不知道。
他没有足够样本。
他只知道师父这一次观测值。
Z=2。
Y=1。
Cov(Z,Y)=2 - E(Z)×1。
E(Z)未知。
他算不出β?。
苏棠用两个样本点强行回归的结果，是8.33%。
那不是真的β?。
那是假设1997年Z=0、Y=0下的β?。
1997年师父真的Z=0吗？
1997年师父没受伤——这是真的。
1997年师父没死——这也是真的。
但1997年师父没追查周明远——这不是因为1997年他没受伤。
是因为1997年他还不知道周明远是谁。
是因为1997年周明远还没开始那每年25万的“还款”。
是因为1997年师父还在科员的位置上，等着那个“不够成熟”的考察结论被推翻。
1997年的Y=0，不是因为Z=0。
是因为X=0。
是因为师父1997年没有去查。
沈默放下笔。
工具变量的核心假设是——Z是外生的。
1999年那场袭击，相对于2004年师父的死亡，是外生的。
但相对于1997年师父的未追查——它不是外生的。
1997年师父没受伤。
1997年师父也没追查。
但这两者之间，没有因果关系。
沈默闭上眼睛。
他想起师父教的第七课：
工具变量只能估计局部平均处理效应。
它不能告诉你，如果所有人都改变处理状态，会发生什么。
它只能告诉你，在那些因为工具变量而改变处理状态的人当中，处理效应是多少。
1999年那场袭击，让师父从“可能不会继续追查”变成了“一定会继续追查”。
师父是“因为Z而改变X”的那群人。
工具变量估计的β?，只适用于这群人。
——如果1999年师父没被打，他会不会在2004年依然追查周明远？
沈默不知道。
师父从来没说过。
师父只在那封信里写过：
你算出那个数的那一秒，我就原谅自己了。
师父没有说——如果1999年没被打，他还会不会去算那个数。
他可能不会。
1999年被打断两根肋骨，是师父第一次亲眼看见——这条链子后面，有人。
马忠林认罪了。
周培德什么都没说。
周明远什么都没发生。
师父躺在医院病床上，看着天花板，想的是什么？
沈默不知道。
他只记得，师父出院那天，他去接。
师父说：小沈，统计员靠数据说话，不靠拳头。
师父没有说：小沈，我会继续查。
但师父继续查了。
1999年，2000年，2001年，2002年，2003年，2004年。
五年。
从石门石英砂厂，到通达运输公司，到周明远。
从82万，到每年25万，到1997年那247万。
从周培德，到周明远，到陈某某。
师父查了五年。
2004年7月11日，他死了。
沈默睁开眼睛。
他看着窗外的夜空。
2024年12月3日23时47分。
师父死后二十年，同一时刻。
他算出了工具变量的估计值——8.33%。
这个数字是错的。
它高估了师父追查的危险性。
因为师父追查周明远，不是因为1999年被打。
是因为他是陈山河。
是因为他是那个1969年冬天跳下河救林国栋的十七岁少年。
是因为他是那个1985年劝林国栋去做心电图、自己却没去的统计科员。
是因为他是那个1999年被打断两根肋骨、还在病床上说“统计员靠数据说话”的执法大队长。
是因为他是那个2004年7月11日晚上、算出贫困县临界值、吃了那顿有毒的红烧肉、趴在办公桌上等学生回电话的师父。
工具变量算不出这些。
它算不出师父是什么样的人。
它只能算出一个有偏的、不精确的、需要无数假设才能成立的β?。
但工具变量证明了一件事：
1999年的袭击和2004年的死亡，来自同一个因果链。
这个因果链的起点，不是1999年。
这个因果链的终点，也不是2004年。
它还在流。
沈默拿起手机。
邮件。
发件人：K。
主题：工具变量
工具变量的两个核心条件：
1. 相关性——Z与X相关
2. 外生性——Z只通过X影响Y
1999年那两根肋骨，同时满足这两个条件。
它和师父2004年的追查深度相关。
它不受2004年师父死亡时任何因素的影响。
但工具变量不能回答的问题是：
如果师父不是师父，他还会不会死？
答案是：不会。
因为那条因果链要清除的，从来不是“查账的人”。
是“陈山河”。
——K
沈默回复：
你是谁？
发送。
等待。
五分钟。
十分钟。
二十分钟。
回复：
我是1999年站在师父病床边、看着X光片的那个人。
我是2004年7月12日早上、第一个走进师父办公室的那个人。
我是2004年7月15日、站在公墓最后一排的那个人。
我是2024年11月15日、把你师父的信从抽屉夹层里取出来的那个人。
我是老沈。
——K
沈默看着那行字。
老沈。
档案馆的老沈。
1998年全省统计系统先进工作者。
1999年师父住院时，他来过三次。
2004年师父下葬时，他站在最后一排。
2024年11月15日，他亲手把师父的信交给他。
2024年11月15日到12月3日，他发了二十几封邮件。
每一封，都在教他怎么算。
每一封，都在推着他往前走。
沈默回复：
为什么是现在？
发送。
很快。
因为1999年师父说，等他学生算出那个数。
2024年11月15日，你算出临界值了。
——K
沈默握着手机。
2024年11月15日。
开棺验尸那天。
他站在殡仪馆法医检验室里，看着师父的遗骸。
他算出的是贫困县的临界值吗？
不是。
他算出的是——师父的死，不是心梗。
他算出的是——师父的死，是谋杀。
他算出的是——1999年那两根肋骨，和2004年那顿饭，是同一个人下的指令。
他算出的是——那条地下长河，流了二十七年，还会继续流。
他算出的是——他是师父唯一的学生，唯一可能替师父算完这笔账的人。
他算出的是——他必须算。
沈默回复：
谢谢你，老沈。
发送。
回复：
不用谢我。
谢师父。
他等你等了二十年。
我也等了二十年。
——K
沈默把手机放下。
窗外的路灯在窗帘上投下一片模糊的光晕。
2024年12月3日23时47分。
师父死后二十年，同一时刻。
他知道了K是谁。
他算出了工具变量的β?——虽然它是错的、弱的、有偏的。
他证明了1999年和2004年是同一条因果链。
他证明了师父不是死于意外，不是死于心梗，不是死于那个算出临界值的夜晚。
师父死于1999年。
死于他决定继续查下去的那一刻。
工具变量算不出那一刻。
但它算出了——从1999年到2004年，从肋骨到毒药，从石门村到英属维尔京群岛。
五年。
一千八百二十六天。
师父一天都没停。
沈默把白板上的公式擦掉。
他写下新的公式。
Y = f(Z) + ε
Z = 陈山河
Y = 临界值
他搁下笔。
师父的工具变量，不是1999年的袭击。
师父的工具变量，是他自己。
他是那个与腐败高度相关、却只通过追查真相影响死亡概率的Z。
他用了二十七年，算完了1167.8万。
他用了二十年，等到了沈默算出那个数。
现在他不用等了。
沈默算完了。
